二十四　数学与逻辑

2023-05-04   作者：梁羽生   来源：梁羽生作品集   评论：0   点击：

　　数学是一门很重要的科学，又是很有趣的科学。数学在科学领域里，称为“纯科学”，意思是“纯理论”的科学。可是一切技术科学，都要以数学为基础。数学不行的学生，其他的自然科学也一定不行。甚至某些社会科学，到深入研究时，也需要良好的数学作基础。如经济学就是一个例子，所以有人说：哲学是一切社会科学之母，而数学则是一切自然科学之母。

　　许多人可能有这样一种错觉，以为数学是枯燥无味的科学，其实不然。例如把数学应用到逻辑（一种推理的科学）上，就常会得到一些很有趣味的论断。

　　平时人对一件肯定的事情常说：“一是一，二是二。”好像这是天经地义的事情。可是运用数学上的巧妙把戏，却可以证明一等于二，或一等于任何数。你若不信，请看下面的算式：

　　设：A＝B
　　则：A2＝AB＝B2
　　故：A2－B2＝AB－B2
　　分解因式：（A＋B）（A－B）＝B（A－B）
　　以（A－B）除两边得：A＋B＝B
　　即：2B＝B
　　故：2＝1

　　在这个算式里，只应用了一个最基本的公式，初中学生都学过的公式，即“两数平方之差等于两数之和乘两数之差”。可是却得出一等于二的结论来。它的秘密在哪里呢？秘密就在A－B＝0这一点上。任何数乘零都等于零的。所以用A－B去除两边，得出的答案就谬误了。①

　　在中国战国时代，有一个非常出名的善于诡辩的人，叫做公孙龙子，他有许多诡辩的命题，其实就是应用数学上的方法作为逻辑，迷惑一般人的观念。

　　他有一个论题是“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。一尺长的木棒，每天取一半，永远都分不完。初看令人惊异，其实却是真的，二等分一条线，继续无穷次都是分不完的，分到最后是“无限小”，但“无限小”仍然是一个数目啊！②

　　公孙龙子另一个论题，那就更诡辩了，这论题是“飞矢不动”。因为若把空间和时间都分割为无限小的点，则飞矢每一瞬间都占着空间的特定位置，因而亦即静止在这一位置上。这个论题和上面“一尺之棰”的论题，都是应用数学上“无限小”的观念，但上面的论题讲得通，这个论题，事实却是讲不通的。因为在每一个无限小的时间里，飞矢仍是运动的。③

　　应用数学到逻辑学上，常会造成形式逻辑，即忽视了内部质的发展，而只注意了表面的现象。可是形式逻辑仍是不可废的，也并不是每个形式逻辑都是错误的。例如：A大于B，B大于C，则A一定大于C，这就符合真理。辩证逻辑也是从形式逻辑发展而来的。所以又有人称形式逻辑为低级逻辑，而称辩证逻辑为高级逻辑。

　　中国古代也有许多杰出的数学家，例如我以前在《随笔》里所举过的祖冲之就是一个例子，他对圆周率的推算，要比西洋数学家早一千年。又如开平方和开立方的问题，也早在中国古代的《九章算术》④中就提出来了。祖冲之根据《九章算术》的算法，早在一千五百多年前，就能求得一般的二次方程式和三次方程式的正根。又如直角三角形中，斜边的平方等于其他两边平方之和，也是中国的数学家最早推算出来的。不过中国的封建社会特别长，由于生产的发展的迟缓，而影响了一般科学的不能迅速发展，在数学上也就落后于国际水平。但近代我国的数学界，仍有非常杰出的人才，例如自学成功的华罗庚教授，他对“堆垒素数”的研究，就是在全世界坐第一把交椅的。这两年来，我国提出“向科学大进军”的号召，某些主要科学部门，要在十二年内赶上国际水平，数学的发展当然也是可以预期的了。

　　1957.1.17

　　①连载：（零是一个很有趣的数字，零除零等于“不定数”，零除任何数等于无限大！）
　　②连载：这和欧洲古代著名的论题“阿基列与乌龟”如出一辙。阿基列是跑得最快的人（典出希腊神话），但根据数学的推论，他的捷步却永远不能追过乌龟的爬行。假设阿基列落后于乌龟一百步而比龟快十倍，当阿基列走十步，龟只前进一步，阿基列每走一步，龟只走十分之一步；如此永无终结，永远追不上。
　　③连载：而且飞矢本身并不是“无限小”的东西，它不可能整体的停留在“无限小”的空间据点上。
　　④连载：《算书》《九章算数少广章》